Escala Pitagórica

Sua construção é baseada na superposição de quintas (razão de 3/2) e suas inversões, as quartas (razão de 4/3). Por exemplo, partindo do intervalo de oitava dado pelas frequências f_o e 2*f_o pode-se formar a escala pitagórica da seguinte maneira:

Tomando f_o como Dó, sobe-se uma quinta que é um Sol:
1*(3/2) = (3/2);

Subindo uma quarta a partir de Dó temos um Fá:
1*(4/3) = (4/3);

Baixando uma quarta a partir de Sol chega-se a Ré:
(3/2)/(4/3) = (9/8);

Quinta acima de Ré nos dá Lá:
(9/8)*(3/2)=(27/16);

Quarta abaixo de Lá nos dá Mi:
(27/16)/(4/3)= (81/64);

Quinta acima de Mi nos dá Si:
(81/64)*(3/2)= 243/128);

Esses valores são relativos aos intervalos entre f_o (aqui tomada como referência a nota Dó) e as outras alturas da escala. Mas é importante saber quais são os intervalos entre cada altura. O intervalo entre Mi e Ré é dado por:

(81/64) / (9/8) = (9/8).

O intervalo entre Fá e Mi é de:

(4/3)/(81/64) = (256/243).

Essas notas Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si formam a chamada escala diatônica de sete notas.Se calcularmos os intervalos entre todas as alturas da escala diatônica teremos apenas dois valores: (9/8) e (256/243), chamados respectivamente de tom pitagórico diatônico e semitom pitagórico diatônico.

Se continuarmos o ciclo de quintas e quartas teremos todas as outras notas representadas com sustenidos e bemóis. Por exemplo, uma quarta abaixo de Si nos dá Fá#: (243/128) / (4/3) = (729/512). Uma quinta abaixo de Fá nos dá Sib: (4/3) / (3/2) * 2 = (16/9).

O intervalo entre Sol e Fá# é um semitom diatônico: (3/2) / (729/512) = (256/243). Mas o intervalo entre Fá# e Fá é: (729/512) / (4/3) = (2187/2048). Esse intervalo é chamado semitom cromático pitagórico.

Se tomamos uma nota qualquer, como Fá por exemplo, e subirmos 12 quintas acima chegaremos a um Mi#, sete oitavas acima do Fá inicial. Esse Mi# é chamado enharmônico de Fá e num sistema temperado corresponde, de fato, ao Fá. Porém se subirmos 12 quintas (3/2)¹² e descermos 7 oitavas (2)⁷, ao invés de chegarmos novamente ao Fá (1/1) teremos:

(3/2)¹² / (2)⁷ = (531441/524288).

Este E# é um pouco mais alto que Fá e o mesmo fenômeno irá ocorrer como outros sons enharmônicos da escala pitagórica. A razão (531441/524288) é a diferença entre um semitom cromático e um semitom diatônico (2187/2048) / (256/243) e é chamada de coma pitagórica (23,5 cents).

Na escala pitagórica, os intervalos de terça e sexta não são justos. A diferença entre terças e sextas pitagóricas e justas é dada pela razão (81/80) (equivalente a 21,5 cents) e é chamada de coma sintônica.

A aritmética baseada em ciclos de intervalos de quintas da escala pitagórica leva portanto à existência de semitons de tamanhos diferentes e de notas enharmônicas que não são equivalentes.

Veja também:

Escalas

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atualizado em 20/01/2000